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$f(x) = e^{4x-8}+b$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5. Sea $f(x)=e^{4 x-8}+b$. Hallar el valor de $b$ para que la imagen de $f$ sea el intervalo $(9 ;+\infty)$. Para el valor de $b$ hallado, calcular la función inversa $f^{-1}$.
Respuesta
1. Hallar $b$:
Sabemos muy bien que las funciones exponenciales tienen como Imagen un intervalo que va desde la A.H. hasta el infinito. Es decir, que en este caso, si nos están dando el intervalo de la imagen, nos están dando la A.H., que sería $y=9$. También podemos recordar que ese valor es el que se suma a la función exponencial, es decir que $b=9$.
Paso a explicarlo:
Dado que la imagen de la función $f$ que buscamos debe ser el intervalo $(9, +\infty)$, vamos a pensar en cómo trasladar la gráfica de la función exponencial $e^{4x-8}$ verticalmente para que su asíntota horizontal, que originalmente está en $y=0$, se mueva hasta $y=9$. Esto se logra añadiendo el valor de $b$ a la función. O sea, que $b=9$.
Si no lo ves de esa forma, calculá la A.H.:
$\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 9$
Donde $e^{4x-8}$ tiende a $0$, y por lo tanto quedaría:
$\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 0 + b = 9$
• $b = 9$
Listo, ya no hay dudas ¿No? $b$ tiene que ser igual a 9 para que la imagen de la función $f$ sea $(9, +\infty)$
2. Hallar la función inversa:
La función $f$ es: $f(x) = e^{4x-8} + 9$
$y = e^{4x-8} + 9$
$x = e^{4y-8} + 9$
$x - 9 = e^{4y-8}$
$\ln(x - 9) = 4y - 8$
$\ln(x - 9) + 8 = 4y $
$y = \frac{\ln(x - 9)}{4} + \frac{8}{4}$
$y= \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2$
• $f^{-1}(x) = \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2$