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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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5. Sea $f(x)=e^{4 x-8}+b$. Hallar el valor de $b$ para que la imagen de $f$ sea el intervalo $(9 ;+\infty)$. Para el valor de $b$ hallado, calcular la función inversa $f^{-1}$.

Respuesta

1. Hallar $b$:

$f(x) = e^{4x-8}+b$

Sabemos muy bien que las funciones exponenciales tienen como Imagen un intervalo que va desde la A.H. hasta el infinito. Es decir, que en este caso, si nos están dando el intervalo de la imagen, nos están dando la A.H., que sería $y=9$. También podemos recordar que ese valor es el que se suma a la función exponencial, es decir que $b=9$. 
Paso a explicarlo:

Dado que la imagen de la función $f$ que buscamos debe ser el intervalo $(9, +\infty)$, vamos a pensar en cómo trasladar la gráfica de la función exponencial $e^{4x-8}$ verticalmente para que su asíntota horizontal, que originalmente está en $y=0$, se mueva hasta $y=9$. Esto se logra añadiendo el valor de $b$ a la función. O sea, que $b=9$. 
  Si no lo ves de esa forma, calculá la A.H.: $\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 9$

Donde $e^{4x-8}$ tiende a $0$, y por lo tanto quedaría:

$\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 0 + b =  9$
  • $b = 9$ Listo, ya no hay dudas ¿No? $b$ tiene que ser igual a 9 para que la imagen de la función $f$ sea $(9, +\infty)$



2. Hallar la función inversa:

La función $f$ es: $f(x) = e^{4x-8} + 9$
$y = e^{4x-8} + 9$ $x = e^{4y-8} + 9$ $x - 9 = e^{4y-8}$ $\ln(x - 9) = 4y - 8$ $\ln(x - 9) + 8 = 4y $ $y = \frac{\ln(x - 9)}{4} + \frac{8}{4}$ $y= \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2$ • $f^{-1}(x) = \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2$ 
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Avatar Emilia 23 de septiembre 18:44
Hola profe, si cuando hice la funcion inversa me quedo: 1/4(ln(x-9)+8
es valido? Creo que es lo mismo porque si hago la distributiva me da eso, pero dejarla escrita asi, esta bien?
Avatar Julieta Profesor 26 de septiembre 20:29
@Emilia Hola Emi, sí, está perfecto! Es super válido escribirlo de esa forma o de la otra
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