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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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5. Sea f(x)=e4x−8+bf(x)=e^{4 x-8}+b. Hallar el valor de bb para que la imagen de ff sea el intervalo (9;+∞)(9 ;+\infty). Para el valor de bb hallado, calcular la función inversa f−1f^{-1}.

Respuesta

1. Hallar bb:

f(x)=e4x−8+bf(x) = e^{4x-8}+b

Sabemos muy bien que las funciones exponenciales tienen como Imagen un intervalo que va desde la A.H. hasta el infinito. Es decir, que en este caso, si nos están dando el intervalo de la imagen, nos están dando la A.H., que sería y=9y=9. También podemos recordar que ese valor es el que se suma a la función exponencial, es decir que b=9b=9. 
Paso a explicarlo:

Dado que la imagen de la función ff que buscamos debe ser el intervalo (9,+∞)(9, +\infty), vamos a pensar en cómo trasladar la gráfica de la función exponencial e4x−8e^{4x-8} verticalmente para que su asíntota horizontal, que originalmente está en y=0y=0, se mueva hasta y=9y=9. Esto se logra añadiendo el valor de bb a la función. O sea, que b=9b=9. 
  Si no lo ves de esa forma, calculá la A.H.: lim⁡x→−∞e4x−8+b=9\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 9

Donde e4x−8e^{4x-8} tiende a 00, y por lo tanto quedaría:

lim⁡x→−∞e4x−8+b=0+b= 9\lim_{{x}\to-\infty}e^{4x-8} + b = 0 + b =  9
  • b=9b = 9 Listo, ya no hay dudas ¿No? bb tiene que ser igual a 9 para que la imagen de la función ff sea (9,+∞)(9, +\infty)



2. Hallar la función inversa:

La función ff es: f(x)=e4x−8+9f(x) = e^{4x-8} + 9
y=e4x−8+9y = e^{4x-8} + 9 x=e4y−8+9x = e^{4y-8} + 9 x−9=e4y−8x - 9 = e^{4y-8} ln⁡(x−9)=4y−8\ln(x - 9) = 4y - 8 ln⁡(x−9)+8=4y\ln(x - 9) + 8 = 4y y=ln⁡(x−9)4+84y = \frac{\ln(x - 9)}{4} + \frac{8}{4} y=ln⁡(x−9)4+2y= \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2 • f−1(x)=ln⁡(x−9)4+2f^{-1}(x) = \frac{\ln(x - 9)}{4} + 2 
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ExaComunidad
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Emilia
23 de septiembre 18:44
Hola profe, si cuando hice la funcion inversa me quedo: 1/4(ln(x-9)+8
es valido? Creo que es lo mismo porque si hago la distributiva me da eso, pero dejarla escrita asi, esta bien?
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Julieta
PROFE
26 de septiembre 20:29
@Emilia Hola Emi, sí, está perfecto! Es super válido escribirlo de esa forma o de la otra
0 Responder